Sabtu, 19 Oktober 2013

Apakah Tak Hingga itu Bilangan atau Bukan?

Tak hingga sering kita gunakan untuk menggambarkan sesuatu yang sulit diungkapkan dengan kata-kata. Dalam matematika, kita juga sering menggunakan istilah "tak hingga" khususnya tentang kalkulus.

"Apakah tak hingga itu suatu bilangan?"

Jelas pertanyaan ini adalah pertanyaan tertutup. Kita dengan mudah dapat menjawabnyaYA atau TIDAK, selesai. Tetapi penjelasan dari jawaban itu lebih penting lagi. Kita juga tahu bahwa pertanyaan ini adalah pertanyaan definisi. Maka kita dapat menjawabnya dengan jawaban apa saja. Atau kita dapat mendefiniskan tak hingga sebagai bilangan atau bukan. Hanya saja pilihan definisi kita itu akan kita periksa konsistensinya, implikasi, dan manfaatnya.

Mari kita asumsikan dua-duanya secara bergantian. Bila tak hingga itu adalah bilangan maka bilangan berapa kah tak hingga itu? Tapi bila tak bukan bilangan maka apa sebenarnya tak hingga itu? Apa hubungan tak hingga yang bukan bilangan dengan bilangan (real)?

Sebelum melangkah lebih jauh mari kita batasi konsep tak hingga di sini adalah yang berhubungan dengan matematika - lebih khusus yang berhubungan dengan limit kalkulus. Jadi kita tidak membahas ungkapan tak hingga seperti contoh ungkapan berikut.

"Cinta ibu kepada anaknya adalah tak hingga."
"Orang yang ikhlas beramal sholeh memperoleh balasan pahala tak hingga."
"Banyaknya bilangan ganjil adalah tak hingga."
"Banyak bilangan real antara 0 sampai 1 adalah tak hingga."
"Banyaknya diameter dari suatu lingkaran adalah tak hingga."

Tapi kita akan membahas tak hingga sebagaimana contoh,
limit x menuju tak hingga dari (2x + 1)/(3x - 1) = 2/3.

Tak Hingga adalah Bilangan yang Sangat Besar

1. Tak hingga adalah bilangan yang sangat besar. Karenanya tak hingga adalah beragam bilangan yang nilainya sangat besar dan tidak tunggal. Tak hingga juga relatif. Sangat besar pada definisi tertentu berbeda dengan sangat besar pada definisi lain. Tetapi mereka sama-sama tak hingga pada definisnya masing-masing.

2. Karena tak hingga adalah bilangan yang sangat besar maka padanya berlaku hukum operasi bilangan biasa.

~ + 1 = ~

Tetapi tak hingga di kiri berbeda dengan tak hingga di kanan. Ingat tak hingga adalah tidak tunggal, tidak unik. Hanya saja simbol mereka sama yaitu tetap tak hingga = "~".

Bentuk yang lebih menarik adalah,
~ - ~ = 1;
~ - ~ = -1;
~ - ~ = tak tentu

Inilah bentuk "tak tentu" yang sering membingungkan siswa. Karena tak hingga yang depan bisa saja beda dengan tak hingga yang belakang. Sehingga hasil pengurangannya tak tentu. Untuk menentukan nilai ini kita perlu menerapkan teori limit.

3. Tak Hingga adalah Bilangan Sangat Besar tapi Bukan Terbesar

Banyak siswa berharap bahwa tak hingga adalah bilangan terbesar. Tetapi bukan. Tak hingga hanyalah bilangan yang sangat besar. Sehingga tentu ada bilangan yang lebih besar dari tak hingga misalnya tak hingga ditambah 1.

~ < ~ + 1

Lalu berapakah tak hingga ditambah 1 itu? Tentu itu juga bilangan yang sangat besar. Maka bilangan tak hingga ditambah 1 juga kita sebut tak hingga lagi - tapi beda dengan tak hingga yang pertama. Perhatikan bahwa tak hingga tidak unik.

Mengenai bilangan terbesar, Paman APIQ sudah membuktikan bahwa tidak ada. Sedangkan tak hingga adalah benar-benar bilangan real dan ada.

Tak Hingga adalah BUKAN Bilangan

1. Tak hingga adalah bukan bilangan sehingga tidak berlaku hukum operasi bilangan real. Seperti kita tahu

~ + 1 = ~

Maka tak hingga pasti bukan bilangan.

2. Tak hingga adalah bukan bilangan tapi memiliki sifat mirip bilangan.
Pertanyaan yang wajar," Bila bukan bilangan maka apakah sebenarnya tak hingga itu?"



1 komentar:

Aprial Mustilan mengatakan...

0 dan ~ itu membingungkan