Pembuktian matematika dapat kita lakukan dengan cara sisi negatif atau positif. Sisi negatif dengan menunjukkan kesalahan suatu argumen. Sedangkan sisi positif dengan mununjukkan kebenaran suatu argumen.
Misalnya buktikan bahwa:
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = 8
Dari rumus deret geometri tak hingga kita peroleh,
S = a/(1 - r)
= 4/(1 - 1/2)
= 8 [Selesai].
Pertanyaan masih berlanjut. "Apakah S = 8, benar-benar tepat bernilai 8?" tanya Zeno. Zeno yakin bahwa S tidak akan sampai ke nilai tepat 8. S akan hanya berhasil mendekati 8 saja. Tapi tak akan pernah mencapai 8. Jadi sesuai dengan Zeno, kita dapat menuliskan S < 8.
Teori limit tidak dapat menjawab keberatan Zeno. Teori limit banyak mendasarkan pada teori epsilon delta yang justru dipertanyakan oleh Zeno.
Berdasar teori limit,
r^n = 0
bila n menuju tak hingga dan | r | < 1.
Sedangkan Zeno bersikukuh mengatakan r^n tidak akan pernah menjadi 0. Menjadi kecil sekali mungkin. Tapi tidak akan 0. Maka S tidak akan pernah mencapai 8. Tetapi S hanya akan mendekati 8 atau dapat kita tulis sebagai S < 8.
Baik, sekarang mari kita coba buktikan apakah S = 8 atau S < 8.
1) Pembuktian Negatif
a. Perhatikan misalnya Anda berada pada jarak 8 meter dari dinding. Anda akan menyentuh dinding dengan aturan boleh maju hanya 1/2 jarak yang tersisa. Jadi gerak maju Anda,
4 + 2 + 1 + 1/2 + .......... = S
Jika S = 8 maka Anda berhasil menyentuh dinding. Jika S < 8 maka Anda tidak akan berhasil menyentuh dinding. Karena selalu tersisa 1/2 jarak terakhir maka asumsikan bahwa yang benar adalah S < 8.
Anda ternyata tidak berhasil menyentuh dinding yang berjarak 8 meter. Tetapi angka 8 ini adalah sekedar angka. Kita dapat mengganti dengan angka 4, angka 2, atau angka lainnya. Jadi Anda juga tidak dapat menyentuh dinding pada jarak 4 meter. Karena untuk menyentuh 4 meter Anda harus menempuh jarak 2 meter. Sebelum 2 meter Anda harus menempuh jarak 1 meter dan seterusnya.
Bahkan kesimpulannya Anda tidak pernah bisa bergerak sedikitpun. Karena untuk bergerak Anda harus melangkah 1/2 jarak sebelumnya sampai tak hingga.
Jelas kesimpulan bahwa Anda tidak bisa bergerak sama sekali adalah salah. Karena kita memang bisa bergerak. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
b) Perhatikan sebuah sumber cahaya yang berjarak 8 meter dari Anda. Agar Anda dapat melihat cahaya dari sumber maka cahaya itu harus bergerak menuju mata Anda dan cahaya harus berhasil menyentuh mata Anda. Gerak cahaya dapat kita analisis: sebelum mencapai 8 meter, ia harus menempuh 4 meter. Sebelum 4 meter ia harus menempuh 2 meter dan seterusnya.
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... .... ... = S.
Asumsikan S < 8 maka cahaya tidak pernah menyentuh mata Anda. Karena itu Anda tidak dapat melihat cahaya tersebut. Tetapi angka 8 dan sumber cahaya bisa kita ganti apa saja, benda apa saja. Cahaya dari mereka tidak pernah sampai ke mata Anda. Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah bisa melihat apa pun.
Jelas kesimpulan Anda tidak bisa melihat apa pun adalah salah. Maka asumsi S < 8 juga salah. Yang benar adalah kebalikannya S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
c) Perhatikan penjumlahan bilangan real
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = S
Asumsikan S < 8 maka Anda juga tidak dapat menjumlahkan bilangan real apa pun. Misalnya Anda hendak menjumlahkan 4 + 2 = ...? Sebelum Anda menambahkan 2 maka Anda harus menambahkan dengan 1. Sebelum menambahkan 1 Anda harus menambahkan dengan 1/2. Sebelum 1/2 harus 1/4 dan seterusnya.
Berbeda dengan penjumlahan bilangan bulat 4 + 2 = 6.
Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah menjumlahkan sepasang bilangan real apa pun. Jelas kesimpulan ini salah. Karena kita memang bisa menjumlahkan bilangan real. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
2) Pembuktian Positif
a. Lakukan eksperimen. Berdiri 8 meter dari dinding. Kemudian majulah 1/2 jarak yang tersisa, berulang-ulang. Apakah Anda akan berhasil menyentuh dinding? Gerak maju Anda dapat kita tuliskan,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S
Silakan mencoba. Hanya butuh waktu 1 sampai 2 menit akhirnya Anda berhasil menyentuh dinding. Jadi kesimpulannya S = 8. [Terbukti].
b. Bayangkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter di atas lantai. Setiap menyentuh lantai, bola tersebut selalu memantul 1/2 dari tinggi semula. Sekarang perhatikan gerak turun puncak bola. Puncak ketika akan dijatuhkan P0 = 8 meter. Puncak setelah memantul pertama P1 = 4 meter.
Gerak turun bola adalah P0 - P1 = 4 meter.
Gerak turun selanjutnya P1 - P2 = 2 meter.
Jumlah seluruh gerak turun bola adalah,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S.
Kita tahu pada akhirnya bola menempel di lantai. Jadi,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S = 8. [Terbukti].
c. Sekarang mari kita cermati batas atas dan batas bawah dari S.
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = S
Kita dengan aman menuliskan,
B < S < 8
Karena kita sedang menduga nilai S yang bergerak maka tanda < dapat saja berubah menjadi kurang dari atau sama dengan. Untuk kecepatan dan ketelitian kita dapat memilih B adalah yang diduga sangat dekat dengan 8 juga. Misal B = 7,999...
Jadi,
7,999... < S < 8.
Mari kita teliti
7,999... = x
79,999... = 10 x
Kurangkan,
72 = 9x
x = 8
Maki kita tulis ulang,
7,999 ... < S < 8
8 < S < 8
Berdasar logika dan teori apit kalkulus maka S = 8. [Terbukti].
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
Tidak ada komentar:
Posting Komentar