Banyak soal matematika yang sulit tetapi menjadi mudah setelah Anda gunakan cara APIQ. Berikut iini adalah contoh soal yang sangat sulit tetapi benar-benar menjadi mudah sekali bersama Paman APIQ. Silakan coba...!
Lebih asyik lagi bila kita memanfaatkan gambar-gambar kreatif dari Paman APIQ.
Cara-cara yang kreatif ini memudahkan anak menguasai konsep matematika. Pertama, Paman APIQ menyarankan kita mengenali pola. Cara mengenali pola lebih mudah dari hanya menggunakan rumus. Bila kita padukan pola dan rumus maka kita memperoleh pemahaman yang tinggi plus cara mudah dan cepat.
Kedua, Paman APIQ membantu dengan animasi gambar-gambar yang menarik. Dengan gambar ini, otak kita menjadi lebih mudah paham. Bukankah gambar bermakna seribu kata? Paman APIQ menunjukkan betapa asyiknya belajar matematika dengan tambahan gambar.
Ketiga, Paman APIQ menyarankan Anda untuk lebih banyak berlatih sehingga menjadi mahir. Sekedar bisa dan paham tidak cukup. Anda perlu menjadi mahir. Dengan latihan yang tepat Anda akan menjadi mahir dan rumus 7 detik APIQ benar-benar Anda kuasai.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Membangunkan Juara dalam Dirimu
Tampilkan postingan dengan label belajar matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label belajar matematika. Tampilkan semua postingan
Senin, 23 Juni 2014
Kamis, 19 Juni 2014
Kumpulan Multimedia Pembahasan SBMPTN 2014 dan Kunci Jawaban
Berikut ini Paman APIQ berbagi kumpulan multimedia SBMPTN 2014. Paman APIQ melengkapi dengan multimedia yang asyik. Cara mudah menyelesaikan akar real dari suatu fungsi dan cara mudah menyelesaikan limit menjadi pilihan utama.
Selamat menikmati...!
Limit menjadi mudah bila kita menggunakan notasi sederhana f + g = 4 dan f - g = -3.
Sekali lagi Paman APIQ menekankan pentingnya pemahaman siswa untuk mengembangkan rumus cepat matematika yang bersifat intuitif. Sukses selalu untuk Anda...! Salam hangat... angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Selamat menikmati...!
Limit menjadi mudah bila kita menggunakan notasi sederhana f + g = 4 dan f - g = -3.
Sekali lagi Paman APIQ menekankan pentingnya pemahaman siswa untuk mengembangkan rumus cepat matematika yang bersifat intuitif. Sukses selalu untuk Anda...! Salam hangat... angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Minggu, 15 Juni 2014
Sulap Matematika Makin Mengagumkan: Variasi-Variasi Angka
Paman APIQ kembali menghadirkan sulap matematika yang asyik. Bikin kita jadi ketagihan belajar matematika. Cobalah game sulap matematika yang sangat asyik ini.
Paman APIQ memberikan setumpuk kartu lalu meminta Meti mengambil salah satunya secara acak.
"Nomor berapa kartu yang kamu ambil? Dan sembunyikan dulu!"
"Nomor 23."
"Dalam kartu kamu bertuliskan: 3.471.897," kata Paman APIQ.
Meti melihat kembali kartunya,"Wow...benar! Aku coba ambil kartu lain dong..."
Meti mengambil satu kartu lagi dengan acak. Terpilih kartu nomor 43.
"Angkanya adalah 5.493.257," kata Paman APIQ.
"Hebat benar... gimana caranya?" tanya Meti.
Dengan sedikit pemahaman maka Meti sudah menjadi jago sulap angka. Bahkan Meti langsung dapat memamerkan kebolehannya itu kebada Al dan Geo. Lebih dari itu, Paman APIQ telah mengembangkan metode sulap ini dengan metode belajar matematika sesuai kebutuhan siswa.
Misal bila siswa butuh penjumlahan maka sulap ini akan mengajarkan penjumlahan seperti contoh di atas. Bila anak perlu belajar perkalian maka kartu ini sulap ini mengajarkan perkalian yang asyik. Pengurangan, pembagian, atau konsep matematika lain dapat kita pelajari melalui sulap matematika yang asyik bersama APIQ.
Berikut ini contoh sulap perkalian 3 dari Paman APIQ.
Kartu 33 maka bertuliskan 9.971.397
Kartu 34 maka bertuliskan 1.026.842
Kartu 35 maka bertuliskan 1.055.555
Kartu 36 maka beruliskan 1.084.268
Dan seterusnya.
Barangkali Anda juga dapat melatih penjumlahan dengan 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Kartu 33 maka bertuliskan 3.728.532
Kartu 34 maka bertuliskan 3.839.643
Kartu 51 maka bertuliskan 5.506.310
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Paman APIQ memberikan setumpuk kartu lalu meminta Meti mengambil salah satunya secara acak.
"Nomor berapa kartu yang kamu ambil? Dan sembunyikan dulu!"
"Nomor 23."
"Dalam kartu kamu bertuliskan: 3.471.897," kata Paman APIQ.
Meti melihat kembali kartunya,"Wow...benar! Aku coba ambil kartu lain dong..."
Meti mengambil satu kartu lagi dengan acak. Terpilih kartu nomor 43.
"Angkanya adalah 5.493.257," kata Paman APIQ.
"Hebat benar... gimana caranya?" tanya Meti.
Dengan sedikit pemahaman maka Meti sudah menjadi jago sulap angka. Bahkan Meti langsung dapat memamerkan kebolehannya itu kebada Al dan Geo. Lebih dari itu, Paman APIQ telah mengembangkan metode sulap ini dengan metode belajar matematika sesuai kebutuhan siswa.
Misal bila siswa butuh penjumlahan maka sulap ini akan mengajarkan penjumlahan seperti contoh di atas. Bila anak perlu belajar perkalian maka kartu ini sulap ini mengajarkan perkalian yang asyik. Pengurangan, pembagian, atau konsep matematika lain dapat kita pelajari melalui sulap matematika yang asyik bersama APIQ.
Berikut ini contoh sulap perkalian 3 dari Paman APIQ.
Kartu 33 maka bertuliskan 9.971.397
Kartu 34 maka bertuliskan 1.026.842
Kartu 35 maka bertuliskan 1.055.555
Kartu 36 maka beruliskan 1.084.268
Dan seterusnya.
Barangkali Anda juga dapat melatih penjumlahan dengan 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Kartu 33 maka bertuliskan 3.728.532
Kartu 34 maka bertuliskan 3.839.643
Kartu 51 maka bertuliskan 5.506.310
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Jumat, 06 Juni 2014
Belajar Himpunan Diagram Venn Sampai KPK Cara Cepat
Tulisan ini melanjutkan tulisan saya sebelumnya yang mengisahkan cerdasnya Imam Ali Bin Abi Thalib dalam bidang matematika. Hidup kira-kira 1500 tahun yang lalu, Imam Ali telah memahami konsep himpunan dengan menerapkannya untuk menghitung cepat KPK. Bukan hanya KPK biasa tetapi KPK untuk 10 bilangan, luar biasa!
Selanjutnya teknik ini dikembangkan Paman APIQ menjadi metode tegak lurus yang mudah dan cepat.
Berikut saya kutipkan kisah sebelumnya untuk kita diskusikan lebih lanjut.
Suatu ketika seorang yang penasaran datang ke sahabat Nabi yang paling cerdas: Ali Bin Abi Thalib. Tamu ini datang secara tiba-tiba kepada Ali. Tamu ini ingin menguji kecerdasan Nabi. Tapi tentu saja Nabi sangat cerdas. Maka dari itu sang tamu memilih sahabat Nabi yang mungkin tidak akan mampu menjawab pertanyaannya yang sulit sekali.
“Berapakah angka yang dapat dibagi oleh semua angka?” tanya sang tamu dengan tiba-tiba.
Ali dengan tenang menjawab,
“Ada berapa hari dalam satu pekan?”
“7 hari,” jawab sang tamu.
“Ada berapa hari dalam satu bulan?”
“30 hari,” jawab sang tamu lagi.
“Ada berapa bulan dalam satu tahun?”
“12 bulan,” sahut sang tamu.
“Kalikan semua bilangan tersebut,” perintah Ali.
Tamu tersebut bingung dan mohon ijin untuk pulang.
Butuh berhari-hari untuk menyelesaikan tugas yang diberikan Ali kepada sang tamu. Saat itu belum ada kalkulator. Jadi tidak selalu mudah menghitung perkalian 7 x 30 x 12 = …
Setelah beberapa pekan tamu tersebut menghadap kepada Ali,
“Tuan memang cerdas luar biasa. Ijinkan saya mengikuti agama Tuan.”
Mari sedikit kita diskusikan proses berhitung di atas. Tentu kita dapat menghitung bahwa:
7 x 30 x 12 = 2520
Memang benar bilangan 2520 ini dapat dibagi oleh bilangan apa pun (antara 1 sampai 10).
Misal,
2520/6 = 420 (Benar)
2520/9 = 280 (Benar)
2520/7 = 360 (Benar)
Dan seterusnya…
Banyak hal menarik dari jawaban Imam Ali di atas. Imam Ali menjawab pertanyaan dengan pertanyaan lagi yang membuat sang penanya menjadi berpikir lebih baik.
Imam Ali menjawab pertanyaan pelik dengan ilustrasi yang sangat sederhana. Banyaknya hari dalam sepekan, hari dalam sebulan, dan bulan dalam setahun.
Imam Ali menjawab pertanyaan dengan efisien dan efektif. Jawaban Imam Ali ini merupakan KPK – bukan sekedar perkalian dari bilangan biasa.
Tentu saja kita dapat menjawab bahwa bilangan yang dapat dibagi 1 sampai dengan 10 adalah 10!. Maksudnya, perkalian dari:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = …..
Bilangan di atas juga benar dapat dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 10. Tetapi jawaban di atas tidak efisien, tidak efektif dan terlalu besar.
Jawaban paling tepat adalah jawaban Imam Ali di atas yang merupakan KPK dari seluruh bilangan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Bagaimana kita dapat menghitung KPK dari 10 bilangan dengan cepat?
Dengan metode pohon faktor dan sisir akan cukup menyulitkan.
Di sinilah kita perlu memanfaatkan teori himpunan (set theory). KPK adalah himpunan gabungan. Sedangkan FPB adalah himpunan irisan.
Dengan logika himpunan, kita dapat menyederhanakan soal di atas menjadi:
9 mewakili 3×3
8 mewakili 4×2
7 mewakili 7
5 mewakili 5
Sedangkan bilangan yang kita abaikan adalah
10 diwakili 5×8
6 diwakili 9×8
4 diwakili 8
3 diwakili 9
2 diwakili 8
1 diwakili berapa pun.
Jadi, kita tinggal menghitung KPK dari
9, 8, 7, 5.
Karena bilangan di atas adalah pasangan koprima maka KPK adalah hasil kalinya, yaitu:
9x8x7x5
= 7 x (3×3) x (4×2) x 5
= 7 x (3x2x5) x (3×4)
= 7 x 30 x 12 = 2520
= 7 (hari) x 30 (hari) x 12 (bulan)
Salut untuk Imam Ali.
Pertanyaan dapat kita lanjutkan,
“Berapakah bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan antara 1 sampai dengan 20?”
“Tahukah kamu bilangan prima antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 11, 13, 17, 19.”
“Kalikan.”
“Tahukah kamu bilangan kuadrat antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 16.”
“Temukan asalnya, kalikan.”
Dengan menghitung cara di atas, kita telah menemukan KPK bilangan 1,2,3….20.
Bagaimana menurut Anda?
Selanjutnya teknik ini dikembangkan Paman APIQ menjadi metode tegak lurus yang mudah dan cepat.
Berikut saya kutipkan kisah sebelumnya untuk kita diskusikan lebih lanjut.
Suatu ketika seorang yang penasaran datang ke sahabat Nabi yang paling cerdas: Ali Bin Abi Thalib. Tamu ini datang secara tiba-tiba kepada Ali. Tamu ini ingin menguji kecerdasan Nabi. Tapi tentu saja Nabi sangat cerdas. Maka dari itu sang tamu memilih sahabat Nabi yang mungkin tidak akan mampu menjawab pertanyaannya yang sulit sekali.
“Berapakah angka yang dapat dibagi oleh semua angka?” tanya sang tamu dengan tiba-tiba.
Ali dengan tenang menjawab,
“Ada berapa hari dalam satu pekan?”
“7 hari,” jawab sang tamu.
“Ada berapa hari dalam satu bulan?”
“30 hari,” jawab sang tamu lagi.
“Ada berapa bulan dalam satu tahun?”
“12 bulan,” sahut sang tamu.
“Kalikan semua bilangan tersebut,” perintah Ali.
Tamu tersebut bingung dan mohon ijin untuk pulang.
Butuh berhari-hari untuk menyelesaikan tugas yang diberikan Ali kepada sang tamu. Saat itu belum ada kalkulator. Jadi tidak selalu mudah menghitung perkalian 7 x 30 x 12 = …
Setelah beberapa pekan tamu tersebut menghadap kepada Ali,
“Tuan memang cerdas luar biasa. Ijinkan saya mengikuti agama Tuan.”
Mari sedikit kita diskusikan proses berhitung di atas. Tentu kita dapat menghitung bahwa:
7 x 30 x 12 = 2520
Memang benar bilangan 2520 ini dapat dibagi oleh bilangan apa pun (antara 1 sampai 10).
Misal,
2520/6 = 420 (Benar)
2520/9 = 280 (Benar)
2520/7 = 360 (Benar)
Dan seterusnya…
Banyak hal menarik dari jawaban Imam Ali di atas. Imam Ali menjawab pertanyaan dengan pertanyaan lagi yang membuat sang penanya menjadi berpikir lebih baik.
Imam Ali menjawab pertanyaan pelik dengan ilustrasi yang sangat sederhana. Banyaknya hari dalam sepekan, hari dalam sebulan, dan bulan dalam setahun.
Imam Ali menjawab pertanyaan dengan efisien dan efektif. Jawaban Imam Ali ini merupakan KPK – bukan sekedar perkalian dari bilangan biasa.
Tentu saja kita dapat menjawab bahwa bilangan yang dapat dibagi 1 sampai dengan 10 adalah 10!. Maksudnya, perkalian dari:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = …..
Bilangan di atas juga benar dapat dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 10. Tetapi jawaban di atas tidak efisien, tidak efektif dan terlalu besar.
Jawaban paling tepat adalah jawaban Imam Ali di atas yang merupakan KPK dari seluruh bilangan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Bagaimana kita dapat menghitung KPK dari 10 bilangan dengan cepat?
Dengan metode pohon faktor dan sisir akan cukup menyulitkan.
Di sinilah kita perlu memanfaatkan teori himpunan (set theory). KPK adalah himpunan gabungan. Sedangkan FPB adalah himpunan irisan.
Dengan logika himpunan, kita dapat menyederhanakan soal di atas menjadi:
9 mewakili 3×3
8 mewakili 4×2
7 mewakili 7
5 mewakili 5
Sedangkan bilangan yang kita abaikan adalah
10 diwakili 5×8
6 diwakili 9×8
4 diwakili 8
3 diwakili 9
2 diwakili 8
1 diwakili berapa pun.
Jadi, kita tinggal menghitung KPK dari
9, 8, 7, 5.
Karena bilangan di atas adalah pasangan koprima maka KPK adalah hasil kalinya, yaitu:
9x8x7x5
= 7 x (3×3) x (4×2) x 5
= 7 x (3x2x5) x (3×4)
= 7 x 30 x 12 = 2520
= 7 (hari) x 30 (hari) x 12 (bulan)
Salut untuk Imam Ali.
Pertanyaan dapat kita lanjutkan,
“Berapakah bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan antara 1 sampai dengan 20?”
“Tahukah kamu bilangan prima antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 11, 13, 17, 19.”
“Kalikan.”
“Tahukah kamu bilangan kuadrat antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 16.”
“Temukan asalnya, kalikan.”
Dengan menghitung cara di atas, kita telah menemukan KPK bilangan 1,2,3….20.
Bagaimana menurut Anda?
Rabu, 04 Juni 2014
Paham Banget Logika Matematika Tentang Negasi atau Ingkaran
Logika matematika itu sangat penting. Tapi logika memang gampang-gampang susah. Menjadi susah bila kita salah sudut pandangnya. Menjadi mudah bila kita memahami logika dengan tepat.
Paman APIQ menyediakan rumusan mudah mempelajari logika matematika untuk Anda. Salah satu tema yang paling menarik adalah negasi atau ingkaran. Selamat menikmati logika matematika bersama APIQ.
Negasi sering kita terjemahkan menjadi ingkaran.
Negasi dari n = 3 adalah n tidak = 3.
Negasi dari dia benar adalah dia tidak benar.
Negasi dari saya lapar adalah saya tidak lapar.
Bagaimana dengan negasi suatu implikasi?
JIKA Rano bekerja MAKA Rano mendapat gaji.
Bagaimana menurut Anda?
Orang pada umumnya mengira negasi dari pernyataan implikasi di atas adalah:
JIKA Rano tidak bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
Bukan. Pernyataan di atas bukanlah negasinya. Beberapa alternatif yang lain adalah:
JIKA Rano bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
JIKA Rano tidak mendapat gaji MAKA Rano tidak bekerja.
Pernyataan di atas masih bukan negasinya.
Negasi yang tepat adalah:
Rano bekerja DAN Rano tidak mendapat gaji.
Atau:
Rano bekerja TAPI Rano tidak mendapat gaji.
(DAN = TAPI).
JIKA segitiga sama sisi MAKA besar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat.
Negasinya:
Segitiga sama sisi TETAPI besar jumlah ketiga sudutnya adalah tidak 180 derajat.
Jadi,
negasi dari p ==> q adalah p DAN ~q
Logis kan?
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat,
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Paman APIQ menyediakan rumusan mudah mempelajari logika matematika untuk Anda. Salah satu tema yang paling menarik adalah negasi atau ingkaran. Selamat menikmati logika matematika bersama APIQ.
Negasi sering kita terjemahkan menjadi ingkaran.
Negasi dari n = 3 adalah n tidak = 3.
Negasi dari dia benar adalah dia tidak benar.
Negasi dari saya lapar adalah saya tidak lapar.
Bagaimana dengan negasi suatu implikasi?
JIKA Rano bekerja MAKA Rano mendapat gaji.
Bagaimana menurut Anda?
Orang pada umumnya mengira negasi dari pernyataan implikasi di atas adalah:
JIKA Rano tidak bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
Bukan. Pernyataan di atas bukanlah negasinya. Beberapa alternatif yang lain adalah:
JIKA Rano bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
JIKA Rano tidak mendapat gaji MAKA Rano tidak bekerja.
Pernyataan di atas masih bukan negasinya.
Negasi yang tepat adalah:
Rano bekerja DAN Rano tidak mendapat gaji.
Atau:
Rano bekerja TAPI Rano tidak mendapat gaji.
(DAN = TAPI).
JIKA segitiga sama sisi MAKA besar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat.
Negasinya:
Segitiga sama sisi TETAPI besar jumlah ketiga sudutnya adalah tidak 180 derajat.
Jadi,
negasi dari p ==> q adalah p DAN ~q
Logis kan?
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat,
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Video Multimedia Matematika Cepat dan Mudah Gratis untuk Anda dari APIQ
Paman APIQ senantiasa mempersembahkan video multimedia matematika yang mudah dan cepat untuk Anda. Bahkan Anda dapat langsung tanya jawab bersama Paman APIQ dengan multimedia. Tanyakan beragam masalah matematika Anda kepada Paman APIQ. Dengan senang hati, Paman APIQ siap membantu.
Berhitung cepat pembagian merupakan video yang paling banyak dicari. Rasakan mudah dan cepatnya berhitung pembagian cara Paman APIQ. Cara ini dapat Anda manfaatkan untuk matematika SD, matematika SMP, dan matematika SMA.
Kebalikannya juga sangat perlu: berhitung cepat perkalian. Paman APIQ mengembangkan teknik berhitung cepat perkalian serba bisa yaitu teknik bintang. Dengan memanfaatkan gambar maka teknik berhitung cepat perkalian bintang benar-benar menjadi mudah dan cepat. Silakan langsung mencobanya.
Anda yang masih punya siswa SD paling sering mempunyai masalah tentang FPB KPK. Gunakan metode tegak lurus dari Paman APIQ maka semua masalah FPB KPK akan terselesaikan dengan cepat dan mudah.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Berhitung cepat pembagian merupakan video yang paling banyak dicari. Rasakan mudah dan cepatnya berhitung pembagian cara Paman APIQ. Cara ini dapat Anda manfaatkan untuk matematika SD, matematika SMP, dan matematika SMA.
Kebalikannya juga sangat perlu: berhitung cepat perkalian. Paman APIQ mengembangkan teknik berhitung cepat perkalian serba bisa yaitu teknik bintang. Dengan memanfaatkan gambar maka teknik berhitung cepat perkalian bintang benar-benar menjadi mudah dan cepat. Silakan langsung mencobanya.
Anda yang masih punya siswa SD paling sering mempunyai masalah tentang FPB KPK. Gunakan metode tegak lurus dari Paman APIQ maka semua masalah FPB KPK akan terselesaikan dengan cepat dan mudah.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Senin, 02 Juni 2014
Tanya Jawab Matematika Lengkap Dengan Video Multimedia
Muncul pertanyaan kreatif:
"bagaimana dengan ini
8 siswa mengerjakan soal no 1 dgn benar
9 siswa mengerjakan soal no 2 dgn benar
5 siswa mengerjakan soal no 3 dgn benar
5 siswa mengerjakan soal no 4 dgn benar.
berapa jumlah siswa paling sedikit yg bisa mengerjakan semua soal dgn benar? caranya gimana?"
Paman APIQ menjawab dengan singkat,
"Paling sedikit 0 atau tidak ada.
Anggap semua himpunan tidak beririsan.
Paling banyak 5.
Anggap himpunan yang kecil adalah himpunan bagian yang lain.
Salam...."
Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di web Paman APIQ ini. Dengan senang hati Paman APIQ akan membantu Anda.
Bahkan Paman APIQ telah menyiapkan ratusan video multimedia untuk Anda.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
"bagaimana dengan ini
8 siswa mengerjakan soal no 1 dgn benar
9 siswa mengerjakan soal no 2 dgn benar
5 siswa mengerjakan soal no 3 dgn benar
5 siswa mengerjakan soal no 4 dgn benar.
berapa jumlah siswa paling sedikit yg bisa mengerjakan semua soal dgn benar? caranya gimana?"
Paman APIQ menjawab dengan singkat,
"Paling sedikit 0 atau tidak ada.
Anggap semua himpunan tidak beririsan.
Paling banyak 5.
Anggap himpunan yang kecil adalah himpunan bagian yang lain.
Salam...."
Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di web Paman APIQ ini. Dengan senang hati Paman APIQ akan membantu Anda.
Bahkan Paman APIQ telah menyiapkan ratusan video multimedia untuk Anda.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
Senin, 18 November 2013
Makin Asyik Belajar Matematika dengan Game Catur Kuta Bali 10
Hidup Anda kini lebih bahagia. Hidup anak Anda juga lebih bahagia. Karena belajar matematika, sekarang dapat melalui game matematika APIQ. Bermain game menjadikan anak Anda Jago Matematika.
Anda suka bermain. Anak Anda suka bermain. Setiap orang memang suka bermain.
Bayangkan apa yang terjadi jika Anak Anda belajar matematika dengan media permainan? Tentu anak Anda akan sangat senang. Dengan penuh gembira anak Anda bermain matematika. Bonusnya, anak Anda menjadi jago matematika.
Paman APIQ konsisten berinovasi menyediakan game matematika untuk melejitkan kemampuan matematika anak Anda. Kali ini Paman APIQ merancang game Catur Kuta Bali yang asyik dan menanamkan kemampuan matematika dari segala bab. Berikut ini variasi Catur Kuta Bali yang dapat kita gunakan untuk materi apa saja.
Catur Kuta Bali 10 Selisih Dadu
1. Pemain berhasil memenangkan pertarungan bila menyusun 10 pasukannya bersambung dalam variasi bentuk apa pun.
2. Pemain dapat menyusun pasukan sebanyak selisih 2 dadu yang ia lemparkan dan...
3. Berhasil menjawab soal yang tersedia pada kartu.
Belajar matematika kini makin asyik bersama APIQ.
Catur Kuta Bali Selisih Dadu Lawan Arah
3. Berhasil menjawab soal yang tersedia pada kartu.
Catur Kuta Bali Selisih Dadu Lawan Arah
1. Pemain berhasil memenangkan pertarungan bila menyusun pasukannya bersambung dalam variasi bentuk apa pun mulai dari bentengnya sampai benteng lawan.
2. Pemain dapat menyusun pasukan sebanyak selisih 2 dadu yang ia lemparkan dan...
Catur Kuta Bali Berbobot
1. Permainan dihentikan bila sudah tersusun 2 x 4 prajurit.
2. Pemain yang menyusun 2 adalah pemenang.
3. Bila pemain imbang masing-masing menyusun 1 maka pemenang ditentukan oleh bobot Kuta Bali.
4. Setiap pemain dibekali pasukan yang berbobot 1 - 9 rangkap 2.
5. Aturan bobot Kuta Bali dapat bervariasi.
Makin asyik belajar matematika bersama APIQ.
2. Pemain yang menyusun 2 adalah pemenang.
3. Bila pemain imbang masing-masing menyusun 1 maka pemenang ditentukan oleh bobot Kuta Bali.
4. Setiap pemain dibekali pasukan yang berbobot 1 - 9 rangkap 2.
5. Aturan bobot Kuta Bali dapat bervariasi.
Makin asyik belajar matematika bersama APIQ.
Minggu, 17 November 2013
Belajar Matematika Himpunan dengan Animasi Power Point
Sejak lahir anak kita sudah mengenal teknologi digital. Tentu mereka sangat senang bila belajar matematika menggunakan teknologi digital. Silakan memanfaatkan animasi power point Paman APIQ untuk belajar matematika.
Anak-anak sangat memerlukan pemahaman konsep himpunan. Anda dapat memanfaatkan bahan animasi power point yang telah disiapkan oleh Paman APIQ. Selamat menikmati...
Matematika Asyik Teori Himpunan Bersama APIQ -SMP -SMA - Seleksi perguruan Tinggi from Agus Nggermanto
Bagaimana menurut Anda?
Kamis, 14 November 2013
Sulap Matematika Jadikan Suasana Gembira
Paman APIQ suka bermain sulap matematika. Anak-anak selalu gembira bermain sulap matematika. Kali ini Anda dapat mencoba sulap matematika dengan menggunakan kalkulator atau berhitung cepat teknik bintang APIQ. Trik sulap ini sudah ditulis Paman APIQ 3 tahun yang lalu.
"Geo, Kamu suka angka berapa?" tanya Paman APIQ.
"7," jawab Geo.
Paman APIQ menulis sesuatu pada sesobek kertas, melipatnya, dan memberikannya pada Geo.
"Kakaknya 7 berapa?"
"8."
"8."
Paman APIQ menuliskan,
78
100 - 67 = ?
"33," jawab Geo.
Paman APIQ menuliskan,
78
3367
---------x
3367
---------x
"Kalikan bilangan di atas," perintah Paman APIQ.
"Pakai kalkulator?"
"Silakan..."
"Pakai Bintang saja ah...cuma Bintang 2 kok."
"Pakai kalkulator?"
"Silakan..."
"Pakai Bintang saja ah...cuma Bintang 2 kok."
78
3367
---------x
262.626
3367
---------x
262.626
"Sekarang buka lipatan kertas yang ada di tanganmu," perintah Paman APIQ.
Geo membuka kertas itu bertuliskan:
Geo membuka kertas itu bertuliskan:
262.626
"Wow...bagaimana bisa begitu?"
Tentu saja Algeometi dapat mengamati pola-pola yang indah dari perhitungan bilangan-bilangan di atas.
78 ===> 262626
75 ===> 252525
63 ===> 212121
75 ===> 252525
63 ===> 212121
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Selasa, 12 November 2013
Game Matematika Makin Menjadikan Anak Suka Matematika
Tak henti-hentinya Meti kecil minta main matematika lagi. Habis main berhitung Kuta Bali, Meti minta main lagi. Padahal dengan memainkan Kuta Bali, Meti sedang belajar berhitung matematika. Dengan senang hati Meti belajar dan bermain matematika.
Game matematika Catur Kuta Bali adalah permainan matematika yang asyik persembahan APIQ. Kali ini Paman APIQ mempersembahkan lagi beragam game matematika asyik.
1. Ular Tangga Super Matematika
2. Ular Tangga Super 2 Matematika
3. Ular Tangga Super Tangkas
Secara prinsip permainan Ular Tangga Super adalah mirip dengan ular tangga biasa. Hanya saja anak-anak lebih penasaran karena menggunakan 2 dadu. Dari dua dadu yang muncul, anak-anak dapat memilih strategi Kuta Bali: Kurang Tambah Bagi kaLi. Pilihan strategi ini yang menjadikan anak-anak lebih asyik dan penasaran. Tambahan lagi, banyaknya lubang ular lebih banyak dari biasanya!
Bermain matematika memang seru bersama APIQ.
Ayo...cerdaskan anak Anda dengan game matematika kreatif!
Salam hangat...
Game matematika Catur Kuta Bali adalah permainan matematika yang asyik persembahan APIQ. Kali ini Paman APIQ mempersembahkan lagi beragam game matematika asyik.
1. Ular Tangga Super Matematika
2. Ular Tangga Super 2 Matematika
3. Ular Tangga Super Tangkas
Secara prinsip permainan Ular Tangga Super adalah mirip dengan ular tangga biasa. Hanya saja anak-anak lebih penasaran karena menggunakan 2 dadu. Dari dua dadu yang muncul, anak-anak dapat memilih strategi Kuta Bali: Kurang Tambah Bagi kaLi. Pilihan strategi ini yang menjadikan anak-anak lebih asyik dan penasaran. Tambahan lagi, banyaknya lubang ular lebih banyak dari biasanya!
Bermain matematika memang seru bersama APIQ.
Ayo...cerdaskan anak Anda dengan game matematika kreatif!
Salam hangat...
Senin, 04 November 2013
Sang Pemburu Raja: Game Matematika Asyik
Anda beruntung karena Paman APIQ kembali berinovasi mengembangkan game matematika yang asyik: Sang Pemburu Raja. Game ini dapat dimainkan oleh dua orang atau beregu dengan 3 tim.
Algeometi sangat gembira memainkan Sang Pemburu Raja. Tak mau berhenti, Algeometi semangat dan penasaran. Sebagai bonusnya, Algeometi menjadi jago matematika dengan memainkan Sang Pemburu Raja. Silakan mencobanya langsung asyiknya game matematika dengan bergabung dalam training APIQ 16 November 2013 di Jakarta.
Al dan Geo mengembangkan strategi masing-masing untuk memenangkan pertarungan.
Al memilih 3 bilangan 19, 29, dan 31. Salah satu di antaranya adalah Raja.
Geo memilih 3 bilangan 17, 23, da 35. Salah satu di antaranya adalah Raja.
Al dan Geo melempar 3 dadu bergantian sebagai peluru. Dengan mesin kabataku Al dan Geo memburu Raja lawan. Barang siapa berhasil memburu Raja lawan lebih dulu dia adalah pemenang sebagai Sang Pemburu Raja.
Mesin kabataku menjadikan Al dan Geo jago berhitung cepat. Mesin ini dapat kita ganti dengan mesin lain misalnya kuadrat, logaritma, atau trigonometri sesuai tema matematika yang hendak kita nikmati.
Salam hangat...
Algeometi sangat gembira memainkan Sang Pemburu Raja. Tak mau berhenti, Algeometi semangat dan penasaran. Sebagai bonusnya, Algeometi menjadi jago matematika dengan memainkan Sang Pemburu Raja. Silakan mencobanya langsung asyiknya game matematika dengan bergabung dalam training APIQ 16 November 2013 di Jakarta.
Al dan Geo mengembangkan strategi masing-masing untuk memenangkan pertarungan.
Al memilih 3 bilangan 19, 29, dan 31. Salah satu di antaranya adalah Raja.
Geo memilih 3 bilangan 17, 23, da 35. Salah satu di antaranya adalah Raja.
Al dan Geo melempar 3 dadu bergantian sebagai peluru. Dengan mesin kabataku Al dan Geo memburu Raja lawan. Barang siapa berhasil memburu Raja lawan lebih dulu dia adalah pemenang sebagai Sang Pemburu Raja.
Mesin kabataku menjadikan Al dan Geo jago berhitung cepat. Mesin ini dapat kita ganti dengan mesin lain misalnya kuadrat, logaritma, atau trigonometri sesuai tema matematika yang hendak kita nikmati.
Salam hangat...
Minggu, 27 Oktober 2013
Manfaat Matematika Tidak Membuat Anda Kaya Tapi Anak Anda
Matematika Membuat Anak Anda Kaya
Tentu Paman APIQ setuju dengan pernyataan bahwa matematika membuat anak Anda kaya.
Kaya ilmu, kaya pemahaman, kaya pengertian. Itulah beberapa bonus yang kita peroleh dari belajar matematika.
Manfaat belajar matematika ternyata jauh lebih hebat dari itu.
Belajar matematika membuat anak Anda kaya raya dalam arti harfiah.
Kaya uang, kaya harta, kaya karir. Bagaimana dapat seperti itu?
Tak sengaja saya keluar log dari account yahoo saya. Lalu ada artikel dari yahoo – sumber Forbes – tentang bakat paling menentukan para bilyuner dunia.
Saya penasaran. Saya klik dan baca artikel dari Forbes tersebut. Setiap orang kaya raya atau bilyuner memiliki kesamaan nomor satu: orang tua mereka selalu mahir matematika.
Bukan hanya diri mereka yang mahir matematika tetapi orang tua mereka juga sudah mahir matematika.
Profesi utama orang tua mereka adalah insinyur, akuntan, dan pemilik bisnis. Wah…jenis profesi ini lebih menggelitik saya!
Insinyur? Ya, memang itu profesi saya.
Akuntan? Ya, itu keahlian ibu anak-anak saya.
Pemilik bisnis? Mereka berkolaborasi mendirikan bisnis.
Akuntan? Ya, itu keahlian ibu anak-anak saya.
Pemilik bisnis? Mereka berkolaborasi mendirikan bisnis.
Paman APIQ lebih condong memandang matematika dari sisi spiritual. Maksudnya, dalam kaca mata Paman APIQ, belajar matematika melatih mental anak dan mematangkan spiritual.
Tetapi bila belajar matematika juga membuat anak Anda menjadi kaya raya, mengapa tidak?
Apakah visi misi APIQ perlu kita tambah lagi ya?
“Belajar matematika menjadikan anak Anda kaya raya.”
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Manfaat Belajar Matematika: Antara Ada dan Tiada
Sang Pemburu Idealis atau Praktis: Matematikawan
“Untuk apa repot-repot belajar matematika? Toh kita tidak akan menggunakannya untuk kehidupan sehari-hari.”
Seorang ibu tampak jenuh dengan matematika. Anak-anaknya pun sering mendapat tugas matematika yang rumit-rumit tidak berhubungan dengan kebutuhan hidup sehari-hari.
Menurut saya ibu di atas benar dengan menanyakan apa pentingnya matematika dalam kehidupan sehari-hari.
Jawaban Paman APIQ,
“Matematika tidak berguna untuk kehidupan sehari-hari. Matematika hanya berguna untuk kehidupan detik demi detik.”
Di jaman modern seperti ini justru kita tidak dapat melihat kehidupan tanpa aspek matematika. Justru setiap sisi kehidupan memanfaatkan matematika. Karena matematika ada di setiap sisi kehidupan maka seakan-akan seperti tidak tampak manfaatnya.
“Lebih penting mana matahari atau bulan?” tanya Meti
“Lebih penting bulan,” jawab Al.
“Mengapa?”
“Karena bulan muncul malam hari ketika gelap. Cahayanya berguna menerangi kegelapan. Sedangkan matahari muncul di siang hari ketika suasana terang benderang.”
“Lebih penting bulan,” jawab Al.
“Mengapa?”
“Karena bulan muncul malam hari ketika gelap. Cahayanya berguna menerangi kegelapan. Sedangkan matahari muncul di siang hari ketika suasana terang benderang.”
Begitulah… karena demikian besar peran matahari maka peran matahari seakan tak tampak.
Matematika tak diragukan lagi berperan penting dalam setiap sisi kehidupan kita. Tetapi karena besarnya peran itu maka menjadi seperti tak tampak. Anda dapat membaca tulisan ini melalui internet karena peran matematika. Anda dapat membaca tulisan ini melalui HP, itu juga peran matematika. Jika Anda dapat membaca tulisan ini melalui buku maka itu juga berkat peran matematika.
Bagaimana pun tidak setiap bidang dalam matematika memiliki peran praktis untuk kehidupan sehari-hari. Matematika memiliki beragam teori tingkat tinggi yang memang, seakan-akan, belum berguna untuk kehidupan sehari-hari saat ini. Sejarah mencatat banyak penemuan matematika yang tampaknya tidak berguna ketika ditemukan tetapi sangat bermanfaat puluhan tahun kemudian.
Ayo sedikit bermain…
Paman APIQ memberi tantangan,
4 x 5 = 2
7 + 8 = 6
7 + 8 = 6
Berapakah
7 x 7 = …?
“Hahaha….” Algeometi malah menjawab dengan tertawa.
“Benar nih Paman?” Geo meyakinkan.
“Ya. Ini pertanyaan matematika,” jawab Paman APIQ.
“Benar nih Paman?” Geo meyakinkan.
“Ya. Ini pertanyaan matematika,” jawab Paman APIQ.
Algeometi mulai berpikir serius.
“Aha… aku tahu.Berhubungan dengan 9 kan?” Meti mulai punya ide.
“Ooo… ya betul,” Geo menyetujui.
“7 x 7 = 4,” lanjut Al.
“Ooo… ya betul,” Geo menyetujui.
“7 x 7 = 4,” lanjut Al.
“Ya, memang betul!” tegas Paman APIQ.
6 x 6 = ???
“Sembilan…” Algeometi menjawab serentak.
“Ya. Kalian boleh menjawab
6 x 6 = 9 atau
6 x 6 = 0,” jelas Paman APIQ.
6 x 6 = 0,” jelas Paman APIQ.
Mereka terus bermain-main dengan matematika.
Jika
6 + 5 = 4
5 x 5 = 4
6 + 5 = 4
5 x 5 = 4
maka
3 x 6 = …?
6 x 6 = …?
3 x 4 = …?
6 x 6 = …?
3 x 4 = …?
(jawaban: 5, 1, 4)
Permainan di atas seperti idealis dan teoritis belaka. Tetapi kenyataannya permainan di atas adalah dasar dari aljabar modern (matematika modern) yang mendukung tekologi internet menjadi berkembang pesat.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Selasa, 22 Oktober 2013
Pythagoras Pas Tuntas di Bandung 26 Oktober
Paman APIQ memperkenalkan konsep rumus Pythagoras dengan lebih luas, pas, dan tuntas di training 26 Oktober.
Misalnya Paman APIQ menampilkan 3 gambar kartun yang sebangun yang masing-masing alasnya menempel pada sisi-sisi segitiga siku-siku. Lalu…
“Untuk mewarnai gambar kartun kecil perlu 25 cc pewarna,
kartun sedang 144 cc maka untuk mewarnai kartun besar perlu … cc pewarna.”
kartun sedang 144 cc maka untuk mewarnai kartun besar perlu … cc pewarna.”
Silakan ikuti pembahasan yang asyik di training APIQ Sabtu ini.
Training Instruktur APIQ Quantum akan kami selenggarakan,
Hari: Sabtu
Tanggal: 26 Oktober 2013
Waktu: 08.30 – 18.00 wib
Tempat: Bandung | Hotel Amaris Jl Cihampelas 171
Tanggal: 26 Oktober 2013
Waktu: 08.30 – 18.00 wib
Tempat: Bandung | Hotel Amaris Jl Cihampelas 171
Training Kreatif
Investasi: FREE bagi yang pernah ikut training APIQ (excluded lunch).
Rp 900.000,- bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya. Pembayaran melalui transfer,
Rp 900.000,- bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya. Pembayaran melalui transfer,
Mandiri | 13 2000 67 220 53 | Cicik C
BNI | 01 39 220 032 | Cicik C
BCA | 233 246 1258 | Agus N
BNI | 01 39 220 032 | Cicik C
BCA | 233 246 1258 | Agus N
Info: quantumyes@yahoo.com | 0818 22 0898
Belajar matematika lebih mudah lebih asyik bersama APIQ
Matematika asyik, kreatif, dan berprestasi bersama APIQ.
Rabu, 16 Oktober 2013
Irisan 3 Himpunan Atau Lebih dari Diagram Venn
Paman APIQ mengamati untuk irisan 4 himpunan atau lebih, diagram Venn sudah agak sulit. Tetapi untungnya Paman APIQ telah menyiapkan cara yang asyik dan kreatif untuk Anda.
Salam hangat...
Salam hangat...
Matematika Aljabar Cepat dan Mudah dengan APIQ: Perkalian dan Pembagian
Belajar matematika asyik dan kreatif bersama APIQ. Mari kita mulai dengan perkalian cepat aljabar metode Bintang APIQ.
Kita mengembangkan lebih jago matematika aljabar dengan mencoba bintang 3. Silakan coba matematika asyik bersama APIQ.
Pembagian aljabar juga menjadi lebih mudah dengan cara APIQ.
Salam hangat...
Kita mengembangkan lebih jago matematika aljabar dengan mencoba bintang 3. Silakan coba matematika asyik bersama APIQ.
Pembagian aljabar juga menjadi lebih mudah dengan cara APIQ.
Salam hangat...
Senin, 14 Oktober 2013
Bukti Matematika Deret Geometri Tak Hingga
Pembuktian matematika dapat kita lakukan dengan cara sisi negatif atau positif. Sisi negatif dengan menunjukkan kesalahan suatu argumen. Sedangkan sisi positif dengan mununjukkan kebenaran suatu argumen.
Misalnya buktikan bahwa:
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = 8
Dari rumus deret geometri tak hingga kita peroleh,
S = a/(1 - r)
= 4/(1 - 1/2)
= 8 [Selesai].
Pertanyaan masih berlanjut. "Apakah S = 8, benar-benar tepat bernilai 8?" tanya Zeno. Zeno yakin bahwa S tidak akan sampai ke nilai tepat 8. S akan hanya berhasil mendekati 8 saja. Tapi tak akan pernah mencapai 8. Jadi sesuai dengan Zeno, kita dapat menuliskan S < 8.
Teori limit tidak dapat menjawab keberatan Zeno. Teori limit banyak mendasarkan pada teori epsilon delta yang justru dipertanyakan oleh Zeno.
Berdasar teori limit,
r^n = 0
bila n menuju tak hingga dan | r | < 1.
Sedangkan Zeno bersikukuh mengatakan r^n tidak akan pernah menjadi 0. Menjadi kecil sekali mungkin. Tapi tidak akan 0. Maka S tidak akan pernah mencapai 8. Tetapi S hanya akan mendekati 8 atau dapat kita tulis sebagai S < 8.
Baik, sekarang mari kita coba buktikan apakah S = 8 atau S < 8.
1) Pembuktian Negatif
a. Perhatikan misalnya Anda berada pada jarak 8 meter dari dinding. Anda akan menyentuh dinding dengan aturan boleh maju hanya 1/2 jarak yang tersisa. Jadi gerak maju Anda,
4 + 2 + 1 + 1/2 + .......... = S
Jika S = 8 maka Anda berhasil menyentuh dinding. Jika S < 8 maka Anda tidak akan berhasil menyentuh dinding. Karena selalu tersisa 1/2 jarak terakhir maka asumsikan bahwa yang benar adalah S < 8.
Anda ternyata tidak berhasil menyentuh dinding yang berjarak 8 meter. Tetapi angka 8 ini adalah sekedar angka. Kita dapat mengganti dengan angka 4, angka 2, atau angka lainnya. Jadi Anda juga tidak dapat menyentuh dinding pada jarak 4 meter. Karena untuk menyentuh 4 meter Anda harus menempuh jarak 2 meter. Sebelum 2 meter Anda harus menempuh jarak 1 meter dan seterusnya.
Bahkan kesimpulannya Anda tidak pernah bisa bergerak sedikitpun. Karena untuk bergerak Anda harus melangkah 1/2 jarak sebelumnya sampai tak hingga.
Jelas kesimpulan bahwa Anda tidak bisa bergerak sama sekali adalah salah. Karena kita memang bisa bergerak. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
b) Perhatikan sebuah sumber cahaya yang berjarak 8 meter dari Anda. Agar Anda dapat melihat cahaya dari sumber maka cahaya itu harus bergerak menuju mata Anda dan cahaya harus berhasil menyentuh mata Anda. Gerak cahaya dapat kita analisis: sebelum mencapai 8 meter, ia harus menempuh 4 meter. Sebelum 4 meter ia harus menempuh 2 meter dan seterusnya.
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... .... ... = S.
Asumsikan S < 8 maka cahaya tidak pernah menyentuh mata Anda. Karena itu Anda tidak dapat melihat cahaya tersebut. Tetapi angka 8 dan sumber cahaya bisa kita ganti apa saja, benda apa saja. Cahaya dari mereka tidak pernah sampai ke mata Anda. Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah bisa melihat apa pun.
Jelas kesimpulan Anda tidak bisa melihat apa pun adalah salah. Maka asumsi S < 8 juga salah. Yang benar adalah kebalikannya S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
c) Perhatikan penjumlahan bilangan real
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = S
Asumsikan S < 8 maka Anda juga tidak dapat menjumlahkan bilangan real apa pun. Misalnya Anda hendak menjumlahkan 4 + 2 = ...? Sebelum Anda menambahkan 2 maka Anda harus menambahkan dengan 1. Sebelum menambahkan 1 Anda harus menambahkan dengan 1/2. Sebelum 1/2 harus 1/4 dan seterusnya.
Berbeda dengan penjumlahan bilangan bulat 4 + 2 = 6.
Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah menjumlahkan sepasang bilangan real apa pun. Jelas kesimpulan ini salah. Karena kita memang bisa menjumlahkan bilangan real. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
2) Pembuktian Positif
a. Lakukan eksperimen. Berdiri 8 meter dari dinding. Kemudian majulah 1/2 jarak yang tersisa, berulang-ulang. Apakah Anda akan berhasil menyentuh dinding? Gerak maju Anda dapat kita tuliskan,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S
Silakan mencoba. Hanya butuh waktu 1 sampai 2 menit akhirnya Anda berhasil menyentuh dinding. Jadi kesimpulannya S = 8. [Terbukti].
b. Bayangkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter di atas lantai. Setiap menyentuh lantai, bola tersebut selalu memantul 1/2 dari tinggi semula. Sekarang perhatikan gerak turun puncak bola. Puncak ketika akan dijatuhkan P0 = 8 meter. Puncak setelah memantul pertama P1 = 4 meter.
Gerak turun bola adalah P0 - P1 = 4 meter.
Gerak turun selanjutnya P1 - P2 = 2 meter.
Jumlah seluruh gerak turun bola adalah,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S.
Kita tahu pada akhirnya bola menempel di lantai. Jadi,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S = 8. [Terbukti].
c. Sekarang mari kita cermati batas atas dan batas bawah dari S.
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = S
Kita dengan aman menuliskan,
B < S < 8
Karena kita sedang menduga nilai S yang bergerak maka tanda < dapat saja berubah menjadi kurang dari atau sama dengan. Untuk kecepatan dan ketelitian kita dapat memilih B adalah yang diduga sangat dekat dengan 8 juga. Misal B = 7,999...
Jadi,
7,999... < S < 8.
Mari kita teliti
7,999... = x
79,999... = 10 x
Kurangkan,
72 = 9x
x = 8
Maki kita tulis ulang,
7,999 ... < S < 8
8 < S < 8
Berdasar logika dan teori apit kalkulus maka S = 8. [Terbukti].
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
Misalnya buktikan bahwa:
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = 8
Dari rumus deret geometri tak hingga kita peroleh,
S = a/(1 - r)
= 4/(1 - 1/2)
= 8 [Selesai].
Pertanyaan masih berlanjut. "Apakah S = 8, benar-benar tepat bernilai 8?" tanya Zeno. Zeno yakin bahwa S tidak akan sampai ke nilai tepat 8. S akan hanya berhasil mendekati 8 saja. Tapi tak akan pernah mencapai 8. Jadi sesuai dengan Zeno, kita dapat menuliskan S < 8.
Teori limit tidak dapat menjawab keberatan Zeno. Teori limit banyak mendasarkan pada teori epsilon delta yang justru dipertanyakan oleh Zeno.
Berdasar teori limit,
r^n = 0
bila n menuju tak hingga dan | r | < 1.
Sedangkan Zeno bersikukuh mengatakan r^n tidak akan pernah menjadi 0. Menjadi kecil sekali mungkin. Tapi tidak akan 0. Maka S tidak akan pernah mencapai 8. Tetapi S hanya akan mendekati 8 atau dapat kita tulis sebagai S < 8.
Baik, sekarang mari kita coba buktikan apakah S = 8 atau S < 8.
1) Pembuktian Negatif
a. Perhatikan misalnya Anda berada pada jarak 8 meter dari dinding. Anda akan menyentuh dinding dengan aturan boleh maju hanya 1/2 jarak yang tersisa. Jadi gerak maju Anda,
4 + 2 + 1 + 1/2 + .......... = S
Jika S = 8 maka Anda berhasil menyentuh dinding. Jika S < 8 maka Anda tidak akan berhasil menyentuh dinding. Karena selalu tersisa 1/2 jarak terakhir maka asumsikan bahwa yang benar adalah S < 8.
Anda ternyata tidak berhasil menyentuh dinding yang berjarak 8 meter. Tetapi angka 8 ini adalah sekedar angka. Kita dapat mengganti dengan angka 4, angka 2, atau angka lainnya. Jadi Anda juga tidak dapat menyentuh dinding pada jarak 4 meter. Karena untuk menyentuh 4 meter Anda harus menempuh jarak 2 meter. Sebelum 2 meter Anda harus menempuh jarak 1 meter dan seterusnya.
Bahkan kesimpulannya Anda tidak pernah bisa bergerak sedikitpun. Karena untuk bergerak Anda harus melangkah 1/2 jarak sebelumnya sampai tak hingga.
Jelas kesimpulan bahwa Anda tidak bisa bergerak sama sekali adalah salah. Karena kita memang bisa bergerak. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
b) Perhatikan sebuah sumber cahaya yang berjarak 8 meter dari Anda. Agar Anda dapat melihat cahaya dari sumber maka cahaya itu harus bergerak menuju mata Anda dan cahaya harus berhasil menyentuh mata Anda. Gerak cahaya dapat kita analisis: sebelum mencapai 8 meter, ia harus menempuh 4 meter. Sebelum 4 meter ia harus menempuh 2 meter dan seterusnya.
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... .... ... = S.
Asumsikan S < 8 maka cahaya tidak pernah menyentuh mata Anda. Karena itu Anda tidak dapat melihat cahaya tersebut. Tetapi angka 8 dan sumber cahaya bisa kita ganti apa saja, benda apa saja. Cahaya dari mereka tidak pernah sampai ke mata Anda. Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah bisa melihat apa pun.
Jelas kesimpulan Anda tidak bisa melihat apa pun adalah salah. Maka asumsi S < 8 juga salah. Yang benar adalah kebalikannya S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
c) Perhatikan penjumlahan bilangan real
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... = S
Asumsikan S < 8 maka Anda juga tidak dapat menjumlahkan bilangan real apa pun. Misalnya Anda hendak menjumlahkan 4 + 2 = ...? Sebelum Anda menambahkan 2 maka Anda harus menambahkan dengan 1. Sebelum menambahkan 1 Anda harus menambahkan dengan 1/2. Sebelum 1/2 harus 1/4 dan seterusnya.
Berbeda dengan penjumlahan bilangan bulat 4 + 2 = 6.
Kesimpulannya, Anda tidak akan pernah menjumlahkan sepasang bilangan real apa pun. Jelas kesimpulan ini salah. Karena kita memang bisa menjumlahkan bilangan real. Jadi S < 8 adalah salah. Yang benar kebalikannya yaitu S = 8. [Terbukti]. Implikasinya r^n = 0.
2) Pembuktian Positif
a. Lakukan eksperimen. Berdiri 8 meter dari dinding. Kemudian majulah 1/2 jarak yang tersisa, berulang-ulang. Apakah Anda akan berhasil menyentuh dinding? Gerak maju Anda dapat kita tuliskan,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S
Silakan mencoba. Hanya butuh waktu 1 sampai 2 menit akhirnya Anda berhasil menyentuh dinding. Jadi kesimpulannya S = 8. [Terbukti].
b. Bayangkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter di atas lantai. Setiap menyentuh lantai, bola tersebut selalu memantul 1/2 dari tinggi semula. Sekarang perhatikan gerak turun puncak bola. Puncak ketika akan dijatuhkan P0 = 8 meter. Puncak setelah memantul pertama P1 = 4 meter.
Gerak turun bola adalah P0 - P1 = 4 meter.
Gerak turun selanjutnya P1 - P2 = 2 meter.
Jumlah seluruh gerak turun bola adalah,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S.
Kita tahu pada akhirnya bola menempel di lantai. Jadi,
4 + 2 + 1 + 1/2 + ... ... ... = S = 8. [Terbukti].
c. Sekarang mari kita cermati batas atas dan batas bawah dari S.
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... ... ... = S
Kita dengan aman menuliskan,
B < S < 8
Karena kita sedang menduga nilai S yang bergerak maka tanda < dapat saja berubah menjadi kurang dari atau sama dengan. Untuk kecepatan dan ketelitian kita dapat memilih B adalah yang diduga sangat dekat dengan 8 juga. Misal B = 7,999...
Jadi,
7,999... < S < 8.
Mari kita teliti
7,999... = x
79,999... = 10 x
Kurangkan,
72 = 9x
x = 8
Maki kita tulis ulang,
7,999 ... < S < 8
8 < S < 8
Berdasar logika dan teori apit kalkulus maka S = 8. [Terbukti].
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat...
Minggu, 13 Oktober 2013
Lebih Mudah Matematika Dasar dengan Bukti APIQ
Anda beruntung! Paman APIQ menyiapkan slide presentasi animasi matematika untuk Anda. Silakan memanfaatkannya dengan baik.
Pertama Paman APIQ mengajak berkenalan dengan limit trigonometri yang sangat asyik bersama APIQ. Ketika banyak anak bingung dengan limit trigonometri, Anda dapat memanfaatkan rumus Paman APIQ dengan mudah dan gembira.
Selanjutnya Paman APIQ mengajak kita untuk menguasai rumus sakti matematika untuk deret geometri tak hingga. Penguasaan bukti limit APIQ ini sekaligus dapat menyelesaikan paradox Zeno yang sudah ribuan tahun. Selamat menikmati...!
Selanjutnya Paman APIQ mengajak kita untuk menguasai rumus sakti matematika untuk deret geometri tak hingga. Penguasaan bukti limit APIQ ini sekaligus dapat menyelesaikan paradox Zeno yang sudah ribuan tahun. Selamat menikmati...!
Buku Berkualitas Matematika Kreatif APIQ untuk Anda
Info lebih lengkap silakan kunjungi www.rumahapiq.com klik di sini.
Informasi pemesanan:
quantumyes@yahoo.com
Pembayaran melalui transfer,
BNI | 01 39 220 032 | Cicik C
Mandiri | 13 2000 67 220 53 | Cicik C
BCA | 233 246 1258 | Agus N
Cara Praktis Melejitkan IQ, EQ, dan SQ
Harga: Rp 35.000,- | Quantum Quotient
Lima Kecerdasan Utama untuk Meraih Bahagia dan Sukses
Harga: Rp 40.000,- | SEPIA
Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif
Harga: Rp 30.000,- (Bonus kartu). Buku ini telah habis terjual. Tidak dicetak lagi dengan bentuk yang sama. Anda dapat memesan buku Kecil-Kecil Jago Matematika sebagai versi terbarunya.
Creative Math Game.
Harga: Rp 40.000,- | APIQ Creative
Quick Count Quadrat: Berhitung Cepat Kuadrat Metode APIQ Asyik dan Kreatif.
Harga: Rp 35.000,- | Quick Count
Rumus Ekspres Kreatif APIQ: Sukses Matematika
Harga: Rp 15.000,- | REKA
Math Kreatif EINSTEIN.
Harga: Rp 35.000,- | Einstein
Rumus Cepat Kreatif
Harga: Rp 35.000,- | Rumus Kreatif
Harga: Rp 26.000,- | KKJM | Saat ini sedang habis persediaan.
Harga: - | Khusus untuk siswa APIQ | Bintangmatika P
Harga: - | Khusus untuk siswa APIQ | Bintangmatika Q
Informasi:
quantumyes@yahoo.com
Salam hangat...
Harga: Rp 35.000,- | Quantum Quotient
Lima Kecerdasan Utama untuk Meraih Bahagia dan Sukses
Harga: Rp 40.000,- | SEPIA
Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif
Harga: Rp 30.000,- (Bonus kartu). Buku ini telah habis terjual. Tidak dicetak lagi dengan bentuk yang sama. Anda dapat memesan buku Kecil-Kecil Jago Matematika sebagai versi terbarunya.
Creative Math Game.
Harga: Rp 40.000,- | APIQ Creative
Quick Count Quadrat: Berhitung Cepat Kuadrat Metode APIQ Asyik dan Kreatif.
Harga: Rp 35.000,- | Quick Count
Rumus Ekspres Kreatif APIQ: Sukses Matematika
Harga: Rp 15.000,- | REKA
Math Kreatif EINSTEIN.
Harga: Rp 35.000,- | Einstein
Rumus Cepat Kreatif
Harga: Rp 35.000,- | Rumus Kreatif
Harga: Rp 26.000,- | KKJM | Saat ini sedang habis persediaan.
Harga: - | Khusus untuk siswa APIQ | Bintangmatika P
Harga: - | Khusus untuk siswa APIQ | Bintangmatika Q
Informasi:
quantumyes@yahoo.com
Salam hangat...
Langganan:
Postingan (Atom)