1/0 = tak terdefinisi, atau
1/0 = tak hingga?
Beberapa orang menjawab dengan lebih sederhana,
1/0 = tak tahu. (Selesai).
"Tidak boleh membagi dengan 0," kata guru SD kita waktu kecil.
"Mengapa?"
"Karena pembagian dengan 0 tidak didefinisikan," jelas guru SD.
Tetapi ketika kita menjelang remaja mulai mengenal limit. Dalam limit (kalkulus) kita sering melihat bahwa
1/0 = tak hingga.
Bahkan kalkulus juga memiliki bentuk yang lebih keren,
0/0 = tak tentu.
Saat ini keyakinan kita mulai goyah, apakah 1/0 = tak terdefinisi atau 1/0 = tak hingga?
1. Pembagian dengan 0 adalah tak terdefinisi.
Ini adalah pemahaman umum. Dan memang benar pembagian dengan 0 memang tak terdefinisi. Jadi penjelasan guru SD adalah benar, 1/0 adalah tak terdefinisi.
Mengapa pembagian dengan 0 tak terdefinisi?
Mari kita cermati dari definisi pembagian. Kita akan melihat pembagian dengan 2 cara. Pertama sebagai pengurangan berulang. Dan kedua sebagai penyebaran kepada penerima.
a. Pembagian sebagai pengurangan berulang.
Definisi ini paling umum dipakai dan mudah diimplementasikan untuk mesin hitung atau komputer.
6 : 2 = 3
Maksudnya,
6 - 2 - 2 - 2 = 0
6 bila kita kurangi 2 berulang-ulang akan menghasilkan 0 setelah berulang 3 kali. Maka 6 : 2 = 3.
Bagaimana dengan pembagian oleh 0?
1 : 0 = ?
1 - 0 - 0 - 0 ... = 1.
1 kita kurangi dengan 0 berulang-ulang tidak akan pernah menghasilkan 0. Atau kita tidak dapat mengurangi 1 dengan 0 agar nilai 1 berubah. Karena itu pembagian dengan 0 tidak akan berhasil. Kesimpulan: pembagian dengan 0 adalah tak terdefinisi.
b. Pembagian sebagai penyebaran merata kepada penerima
Definisi pembagian sebagai penyebaran ini paling banyak kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Anak-anak dan orang dewasa sangat mudah memahami pembagian sebagai penyebaran.
6 : 2 = 3
Maksudnya adalah 6 = n + n = 3 + 3 maka 6 : 2 = 3. Dalam bahasa sehari-hari. Geo memiliki 6 apel yang akan dibagikan kepada 2 temannya (sama rata). Maka masing-masing menerima 3 apel.
Bagaimana pembagian dengan 0?
1/0 = ...
Sebuah apel akan dibagikan kepada tidak ada penerima (0). Tentu kita tidak dapat membagikan apel bila tidak ada penerima. Maka pembagian dengan 0 adalah tak terdefinisi.
2. Pembagian dengan 0 adalah tak hingga sesuai limit.
Teori limit tampaknya lebih keren bagi kita dari sekedar definisi pembagian. Kita sering melihat untuk limit x menuju 0 maka,
1/x = 1/0 = ~
Jadi, berdasar limit pembagian dengan 0 menghasilkan tak hingga. Sekilas seperti itu. Tetapi limit tidak berbicara x tepat = 0. Limit hanya berbicara x mendekati 0. Ketika x tepat = 0, limit tidak membahasnya.
Kesimpulan, limit TIDAK menyatakan bahwa 1/0 = ~. Tetapi limit menyatakan ketika 1 dibagi oleh bilangan yang sangat kecil sekali dan mendekati 0 maka hasilnya adalah tak hingga atau bilangan yang sangat besar sekali.
Kesimpulan limit di atas juga konsisten dengan definisi pembagian sebagai pengurangan berulang.
1 - x - x -x .... = 0.
Akan terjadi pengulangan x sampai tak hingga kali.
3. Pembagian dengan 0 boleh-boleh saja seperti 3!/0! = 6.
Dalam konsep permutasi kita sering menemukan pembagian dengan 0!. Misal dari 3 orang akan dipilih ketua, wakil, dan bendahara. Ada berapa susunan yang mungkin?
Banyaknya susunan yang mungkin adalah,
3P3 = 3!/(3-3)! = 3!/0!
Berapa hasilnya? Berapa 0!
Bukankah 0! = 0 ?
Bukan! 0! = 1.
Jadi 3!/0! = 3! = 6.
Hasil ini benar dan konsisten dengan beragam sudut pandang.
Mengapa 0! adalah 1?
Pertanyaan ini menarik. Kita dapat membahasnya dari sudut pandang banyaknya susunan dan pilihan. 2! = 2 maksudnya adalah kita memiliki 2 susunan sehingga kita memiliki 2 pilihan.
1! = 1 maksudnya adalah kita memiliki 1 susunan sehingga kita memiliki 1 pilihan.
0! maksudnya adalah kita tidak punya pilihan. Tetapi tidak punya pilihan sama saja dengan memiliki 1 pilihan yaitu tidak memilih. Karena itu 0! = 1. Sehingga 3!/0! = 3! = 6.
Barangkali kita dapat mempertimbangkan catatan sejarah tempo dulu. Ford saat itu adalah produsen mobil terbesar di dunia. Karena pertimbangan teknis dan penerimaan market, Ford hanya memproduksi mobil berwarna hitam saja. Beberapa orang mengkritik," Ford tidak memberi kita pilihan warna."
Ford menjawab,
"Anda boleh memilih warna apa saja asalkan hitam."
Memiliki 1 pilihan sama saja dengan 0 pilihan maka 0! = 1! = 1.
Bagaimana menurut Anda?
