Rumus Cepat untuk Kunci Jawaban dan Pembahasan SBMPTN 2014

SBMPTN 2014 memunculkan soal yang sangat menarik. Banyak orang membutuhkan pembahasan soal yang menarik ini. Paman APIQ berbagi untuk Anda rumus cepat dan kunci jawaban SBMPTN 2014. Silakan memanfaatkannya dengan baik.




Banyaknya akar real f(t) = t^9 - t adalah...

1. Menggunakan rumus umum 

Penggunaan rumus umum untuk polinom pangkat 9 tidak mudah. Bahkan kadang memang tidak bisa dipecahkan dengan rumus umum. Untuk persamaan kuadrat kita memiliki rumus umum yang sering kita sebut sebagai rumus abc.

Untuk polinom pangkat 3 dan pangkat 4 rumus umum (penyelesaian dengan radikal) dapat kita terus kembangkan dengan tingkat kerumitan yang lebih tinggi. Tentu saja polinom pangkat 9 akan lebih rumit lagi.

Sejarah mencatat bahwa anak muda bernama Galois berhasil menemukan solusi untuk polinom pangkat tinggi (lima atau lebih). Kesimpulan Galois adalah tidak semua polinom pangkat tinggi dapat diselesaikan dengan rumus umum.

Para siswa yang berusaha untuk menyelesaikan soal ini dengan rumus umum maka akan sulit sekali menyelesaikan soal ini.

2. Cara Intuitif Pembuat 0

Paman APIQ yakin inilah rumus paling cepat dan mudah. Kita memikirkan akar real adalah pembuat f(t) = 0. Jadi kita tinggal mencoba banyaknya t yang memenuhi.

0 = t^9 - t

Dengan mudah kita dapat menebak solusi yang mungkin adalah 0, 1, atau -1.

0^9 - 0 = 0 - 0 = 0 (benar).

1^9 - 1 = 1 - 1 = 0 (benar).

(-1)^9 - (-1) = -1 + 1 = 0 (benar).

Jadi banyaknya akar real adalah 3 (Selesai).

Dengan cara intuitif kita juga dapat menunjukkan bahwa t yang lain adalah salah. Bila t > 1 maka t^9 akan bernilai jauh lebih besar dari t. Sehingga t^9 - t tidak akan pernah menjadi 0. Untuk t < -1 juga mirip. Yaitu t^9 akan bernilai sangat negatif yang akibatnya t^9 - t tidak akan pernah 0.

Sedangkan 0 < t < 1 atau negatifnya akan bernilai sebaliknya. Nilai t^9 akan jauh lebih kecil dari t sehingga t^9 - t juga tidak akan pernah 0.

Kesimpulannya adalah solusi akar real hanya ada 3 yaitu 0, 1, atau -1.

3. Mengunakan grafik intuitif

Cara grafik intuitif ini sangat sederhana.

0 = t^9 - t
maka

t^ 9 = t

Kita hanya mencari titik potong grafik t^9 dan t. Kita tahu kedua grafik tersebut tidak pernah turun (monoton naik). Grafik t berupa garis lurus. Sedangkan t^9 mirip hanya saja terjadi lengkungan di sekitar t = 0. Dengan membuat sketsa tampak jelas bahwa grafik berpotongan di 3 titik yaitu,

t = -1, t = 0, atau t = 1.

Jadi banyaknya akar real adalah 3.

4. Gunakan cara faktorisasi

Faktorisasi adalah metode dasar yang penting. Tetapi begitu melihat pangkat 9, anak-anak sering jadi berkecil hati. Padahal meski pangkat 9 tetapi bentuknya mudah untuk difaktorkan. Apalagi bila sudah akrab dengan faktor sekawan tentu menjadi mudah.

0 = t^9 - t
= t ( t^8 - 1)

Kita akan menggunakan faktor sekawan t^8 - 1 = (t^4 + 1)(t^4 - 1).

Dan karena kita tahu t^4 + 1 adalah selalu positif maka kita dapat mengabaikannya. Tentu kita dapat mengujinya dengan D.  Tetapi akan lebih mudah secara intuitif bahwa t^4 selalu positif dan minimal 0. Maka bila ditambah 1 tentu selalu positif.

0 = t (t^4 - 1)

Dengan cara yang sama, faktor sekawan t^4 - 1 = (t^2 + 1)(t^2 - 1).
Dan t^2 + 1 juga definit positif.

0 = t (t^2 - 1)

0 = t (t + 1) ( t - 1)

Jadi terlihat jelas ada 3 akar real.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Matematika Sulit Jadi Mudah Bersama APIQ

Banyak soal matematika yang sulit tetapi menjadi mudah setelah Anda gunakan cara APIQ. Berikut iini adalah contoh soal yang sangat sulit tetapi benar-benar menjadi mudah sekali bersama Paman APIQ. Silakan coba...!


Lebih asyik lagi bila kita memanfaatkan gambar-gambar kreatif dari Paman APIQ.


Cara-cara yang kreatif ini memudahkan anak menguasai konsep matematika. Pertama, Paman APIQ menyarankan kita mengenali pola. Cara mengenali pola lebih mudah dari hanya menggunakan rumus. Bila kita padukan pola dan rumus maka kita memperoleh pemahaman yang tinggi plus cara mudah dan cepat.

Kedua, Paman APIQ membantu dengan animasi gambar-gambar yang menarik. Dengan gambar ini, otak kita menjadi lebih mudah paham. Bukankah gambar bermakna seribu kata? Paman APIQ menunjukkan betapa asyiknya belajar matematika dengan tambahan gambar.

Ketiga, Paman APIQ menyarankan Anda untuk lebih banyak berlatih sehingga menjadi mahir. Sekedar bisa dan paham tidak cukup. Anda perlu menjadi mahir. Dengan latihan yang tepat Anda akan menjadi mahir dan rumus 7 detik APIQ benar-benar Anda kuasai.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Rumus Cepat FPB KPK Paling Mudah dari APIQ

Dengan jurus 7 detik Anda dapat menguasai rumus cepat berhitung FPB KPK. Padahal sebagian besar anak-anak paling sulit soal FPB KPK. Gunakan rumus dari Paman APIQ maka Anda akan jadi jago matematika FPB KPK. Bersiaplah...!

Paman APIQ memiliki puluhan koleksi rumus cepat menghitung FPB KPK. Tapi kali ini Paman APIQ akan berbagi rumus FPB KPK yang paling mudah dan asyik untuk Anda. Yang paling penting dari semuanya adalah pemahaman konsep dasar FPB KPK.

FPB adalah bilangan yang dapat membagi bilangan pertama dan bilangan kedua. Dan kita memilih bilangan terbesar di antara bilangan-bilangan yang dapat membagi.

Sedangkan KPK adalah bilangan yang dapat dibagi oleh bilanga pertama mau pun bilangan kedua. Dan kita memilih bilangan terkecil di antara bilangan-bilangan yang dapat dibagi itu.

Rumus Cepat FPB KPK paling mudah adalah teknik tegak lurus koprima APIQ.



Setelah beberapa kali berlatih Anda dapat menguasai jurus tegak lurus tingkat lanjut untuk FPB KPK.




Jurus paling matang dari FPB KPK adalah jurus coret. Bila Anda menguasai jurus coret maka Anda dapat dengan mudah menguasai tipe soal FPB KPK seperti apa pun. Lagi pula cepatnya rumus coret adalah karena Anda menguasai konsep dasarnya dengan baik.





Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Belajar Himpunan Diagram Venn Sampai KPK Cara Cepat

Tulisan ini melanjutkan tulisan saya sebelumnya yang mengisahkan cerdasnya Imam Ali Bin Abi Thalib dalam bidang matematika. Hidup kira-kira 1500 tahun yang lalu, Imam Ali telah memahami konsep himpunan dengan menerapkannya untuk menghitung cepat KPK. Bukan hanya KPK biasa tetapi KPK untuk 10 bilangan, luar biasa!

Selanjutnya teknik ini dikembangkan Paman APIQ menjadi metode tegak lurus yang mudah dan cepat.

Berikut saya kutipkan kisah sebelumnya untuk kita diskusikan lebih lanjut.

Suatu ketika seorang yang penasaran datang ke sahabat Nabi yang paling cerdas: Ali Bin Abi Thalib. Tamu ini datang secara tiba-tiba kepada Ali. Tamu ini ingin menguji kecerdasan Nabi. Tapi tentu saja Nabi sangat cerdas. Maka dari itu sang tamu memilih sahabat Nabi yang mungkin tidak akan mampu menjawab pertanyaannya yang sulit sekali.

“Berapakah angka yang dapat dibagi oleh semua angka?” tanya sang tamu dengan tiba-tiba.
Ali dengan tenang menjawab,
“Ada berapa hari dalam satu pekan?”
“7 hari,” jawab sang tamu.
“Ada berapa hari dalam satu bulan?”
“30 hari,” jawab sang tamu lagi.
“Ada berapa bulan dalam satu tahun?”
“12 bulan,” sahut sang tamu.
“Kalikan semua bilangan tersebut,” perintah Ali.

Tamu tersebut bingung dan mohon ijin untuk pulang.

Butuh berhari-hari untuk menyelesaikan tugas yang diberikan Ali kepada sang tamu. Saat itu belum ada kalkulator. Jadi tidak selalu mudah menghitung perkalian 7 x 30 x 12 = …

Setelah beberapa pekan tamu tersebut menghadap kepada Ali,
“Tuan memang cerdas luar biasa. Ijinkan saya mengikuti agama Tuan.”

Mari sedikit kita diskusikan proses berhitung di atas. Tentu kita dapat menghitung bahwa:
7 x 30 x 12 = 2520

Memang benar bilangan 2520 ini dapat dibagi oleh bilangan apa pun (antara 1 sampai 10).
Misal,
2520/6 = 420 (Benar)
2520/9 = 280 (Benar)
2520/7 = 360 (Benar)
Dan seterusnya…

Banyak hal menarik dari jawaban Imam Ali di atas. Imam Ali menjawab pertanyaan dengan pertanyaan lagi yang membuat sang penanya menjadi berpikir lebih baik.
Imam Ali menjawab pertanyaan pelik dengan ilustrasi yang sangat sederhana. Banyaknya hari dalam sepekan, hari dalam sebulan, dan bulan dalam setahun.
Imam Ali menjawab pertanyaan dengan efisien dan efektif. Jawaban Imam Ali ini merupakan KPK – bukan sekedar perkalian dari bilangan biasa.

Tentu saja kita dapat menjawab bahwa bilangan yang dapat dibagi 1 sampai dengan 10 adalah 10!. Maksudnya, perkalian dari:
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = …..

Bilangan di atas juga benar dapat dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 10. Tetapi jawaban di atas tidak efisien, tidak efektif dan terlalu besar.
Jawaban paling tepat adalah jawaban Imam Ali di atas yang merupakan KPK dari seluruh bilangan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Bagaimana kita dapat menghitung KPK dari 10 bilangan dengan cepat?
Dengan metode pohon faktor dan sisir akan cukup menyulitkan.
Di sinilah kita perlu memanfaatkan teori himpunan (set theory). KPK adalah himpunan gabungan. Sedangkan FPB adalah himpunan irisan.

Dengan logika himpunan, kita dapat menyederhanakan soal di atas menjadi:
9 mewakili 3×3
8 mewakili 4×2
7 mewakili 7
5 mewakili 5

Sedangkan bilangan yang kita abaikan adalah
10 diwakili 5×8
6 diwakili 9×8
4 diwakili 8
3 diwakili 9
2 diwakili 8
1 diwakili berapa pun.

Jadi, kita tinggal menghitung KPK dari
9, 8, 7, 5.

Karena bilangan di atas adalah pasangan koprima maka KPK adalah hasil kalinya, yaitu:
9x8x7x5
= 7 x (3×3) x (4×2) x 5
= 7 x (3x2x5) x (3×4)
= 7 x 30 x 12 = 2520
= 7 (hari) x 30 (hari) x 12 (bulan)
Salut untuk Imam Ali.

Pertanyaan dapat kita lanjutkan,
“Berapakah bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan antara 1 sampai dengan 20?”
“Tahukah kamu bilangan prima antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 11, 13, 17, 19.”
“Kalikan.”
“Tahukah kamu bilangan kuadrat antara 10 sampai 20?” tanya Paman APIQ.
“Ya. 16.”
“Temukan asalnya, kalikan.”
Dengan menghitung cara di atas, kita telah menemukan KPK bilangan 1,2,3….20.

Bagaimana menurut Anda?

Contoh Soal Diagram Venn adalah Visualisai Teori Himpunan

Venn menggunakan diagram-diagram untuk memudahkan para siswa menguasai teori himpunan. Kelak gambar-gambar diagram ini akan dikenal sebagai diagram Venn. Jadi diagram Venn adalah diagram-diagram yang mengilustrasikan hubungan-hubungan suatu himpunan tertentu. Karena bersifat visual, diagram venn banyak membantu siswa untuk memahami teori himpunan.


Wiki memberi definisi: A Venn diagram or set diagram is a diagram that shows all possible logical relations between a finite collection of sets.

Contoh soal diagram Venn dapat mulai dari teori himpunan yang sederhana sampai yang cukup rumit.

1) Dari 10 orang yang diwawancara, 7 orang punya kalkulator dan 9 orang punya hp. Tentukan banyaknya orang yang punya kedua-duanya.

2) A adalah himpunan siswa SMP yang melanjutkan ke SMA sedang B adalah himpunan siswa SMP maka gambarkan diagram Venn.

3) Dari 15 ekor ayam diketahui 3 di antaranya adalah jantan, gambarkan diagram Venn yang tepat.





Anda dapat belajar langsung bersama Paman APIQ dengan tanya jawab melalui web APIQ ini. Sukses selalu untuk Anda...!

Salam hangat...
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Matematika Aljabar Cepat dan Mudah dengan APIQ: Perkalian dan Pembagian

Belajar matematika asyik dan kreatif bersama APIQ. Mari kita mulai dengan perkalian cepat aljabar metode Bintang APIQ.



Kita mengembangkan lebih jago matematika aljabar dengan mencoba bintang 3. Silakan coba matematika asyik bersama APIQ.



Pembagian aljabar juga menjadi lebih mudah dengan cara APIQ.



Salam hangat...

Matematika Dasar Matriks Lebih Mudah Bersama APIQ

Bagaimana pun matematika menjadi dasar dari segala kemajuan. Materi matriks merupakan matematika dasar yang masuk dalam konsep aljabar modern. Karena itu matriks memiliki penerapan dan keunggulan yang luas.

Untuk memudahkan Anda belajar matematika dasar matriks, Paman APIQ telah menyiapkan video multimedia yang asyik. Selamat menikmati...!

Penjumlahan matriks menjadi sangat mudah bersama APIQ.



Untuk perkalian matriks kita perlu sedikit variasi yaitu perkalian baris dengan kolom.


Lagi pula tidak berlaku hukum komutatif dalam perkalian matriks. Jadi makin seru kan...?

Konsep identitas dan invers menjadi tema menarik tersendiri dalam matematika dasar matriks.





Salam hangat...